Задачи из ДЕМОВАРИАНТОВ (с решениями)
1. Тело, свободно падающее с некоторой высоты без начальной скорости, за время τ = 1 с после начала движения проходит путь в n = 5 раз меньший, чем за такой же промежуток времени в конце движения. Найдите полное время движения. Образец возможного решения
2. Шайба, брошенная вдоль наклонной плоскости, скользит по ней, двигаясь вверх, а затем движется вниз. График зависимости модуля скорости шайбы от времени дан на рисунке. Найти угол наклона плоскости к горизонту. Образец возможного решения
3. Грузы массами M = 1 кг и m связаны лёгкой нерастяжимой нитью, переброшенной через блок, по которому нить может скользить без трения (см. рисунок). Груз массой M находится на шероховатой наклонной плоскости (угол наклона плоскости к горизонту α = 30°, коэффициент трения μ = 0,3). Чему равно максимальное значение массы m, при котором система грузов ещё не выходит из первоначального состояния покоя? Решение поясните схематичным рисунком с указанием используемых сил. Образец возможного решения
4. Масса Марса составляет 0,1 от массы Земли, диаметр Марса вдвое меньше, чем диаметр Земли. Каково отношение периодов обращения искусственных спутников Марса и Земли ТM/ТЗ, движущихся по круговым орбитам на небольшой высоте? Образец возможного решения
5. Шайба массой m начинает движение по желобу AB из точки А из состояния покоя. Точка А расположена выше точки В на высоте H = 6 м. В процессе движения по желобу механическая энергия шайбы из-за трения уменьшается на ΔE = 2 Дж. В точке В шайба вылетает из желоба под углом α = 15° к горизонту и падает на землю в точке D, находящейся на одной горизонтали с точкой В (см. рисунок). BD = 4 м. Найдите массу шайбы m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Образец возможного решения
6. Шарик скользит без трения по наклонному желобу, а затем движется по «мертвой петле» радиуса R. С какой силой шарик давит на желоб в нижней точке петли, если масса шарика равна 100 г, а высота, с которой его отпускают, равна 4R? Образец возможного решения
7. Небольшая шайба после удара скользит вверх по наклонной плоскости из точки А (см. рисунок). В точке В наклонная плоскость без излома переходит в наружную поверхность горизонтальной трубы радиусом R. Если в точке А скорость шайбы превосходит υ0 = 4 м/с, то в точке В шайба отрывается от опоры. Длина наклонной плоскости АВ = L = 1 м, угол α = 30°. Коэффициент трения между наклонной плоскостью и шайбой μ = 0,2. Найдите внешний радиус трубы R. Образец возможного решения
8. Кусок пластилина сталкивается со скользящим навстречу по горизонтальной поверхности стола бруском и прилипает к нему. Скорости пластилина и бруска перед ударом направлены противоположно и равны vпл = 15 м/с и vбр = 5 м/с. Масса бруска в 4 раза больше массы пластилина. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом μ = 0,17. На какое расстояние переместятся слипшиеся брусок с пластилином к моменту, когда их скорость уменьшится на 30%? Образец возможного решения
9. Шар массой 1 кг, подвешенный на нити длиной 90 см, отводят от положения равновесия на угол 60o и отпускают. В момент прохождения шаром положения равновесия в него попадает пуля массой 10 г, летящая навстречу шару. Она пробивает его и продолжает двигаться горизонтально. Определите изменение скорости пули в результате попадания в шар, если он, продолжая движение в прежнем направлении, отклоняется на угол 39o. (Массу шара считать неизменной, диаметр шара – пренебрежимо малым по сравнению с длиной нити, cos 39° = 7/9.) Образец возможного решения
10. Два тела, массы которых соответственно m1 = 1 кг и m2 = 2кг, скользят по гладкому горизонтальному столу (см. рисунок). Скорость первого тела v1 = 3 м/с, скорость второго тела v2 = 6 м/с. Какое количество теплоты выделится, когда они столкнутся и будут двигаться дальше, сцепившись вместе? Вращения в системе не возникает. Действием внешних сил пренебречь. Образец возможного решения
	11. На рисунке представлена фотография установки по исследованию скольжения каретки (1) массой 40 г по наклонной плоскости под углом 30°. В момент начала движения верхний датчик (2) включает секундомер (3). При прохождения кареткой нижнего датчика (4) секундомер выключается. Оцените количество теплоты, которое выделилось при скольжении каретки по наклонной плоскости между датчиками. Образец возможного решения
Избранные задачи прошлых лет (с ответами)
12. Грузовой автомобиль массой М = 4 т тянет за нерастяжимый трос вверх по уклону легковой автомобиль, масса которого m = 1 т. Двигатель легкового автомобиля выключен. С каким максимальным ускорением могут двигаться автомобили, если угол уклона составляет α = arcsin 0,1, а коэффициент трения между шинами грузового автомобиля и дорогой μ = 0,2? Силой трения качения, действующей на легковой автомобиль пренебречь.
13. К покоящемуся на шероховатой горизонтальной поверхности телу приложена нарастающая с течением времени горизонтальная сила тяги F = bt, где b – постоянная величина. На рисунке представлен график зависимости ускорения тела от времени действия силы. Определите коэффициент трения скольжения.
14. К нижнему концу легкой пружины подвешены связанные невесомой нитью грузы: верхний массой m1 = 0,2 кг и нижний массой m2 = 0,1 кг. Нить, соединяющую грузы, пережигают. С каким ускорением и в каком направлении начнет двигаться верхний груз?
15. Грузики с точечными массами m1 = 0,25 кг и m2= 0,5 кг прикреплены к невесомому стержню длиной l = 1 м (см. рисунок). Стержень может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О. В нижней точке траектории грузик массой m2 имеет скорость υ = 2 м/с. Определите силу, с которой стержень действует на грузик m1 в этот момент.
16. Определите отношение веса тела на экваторе планеты к весу этого тела на ее полюсе, если плотность вещества планеты ρ = 5200 кг/м3, а период ее вращения вокруг собственной оси равен T = 3•104 с. Планету считать однородным шаром.
17. Звезда и массивная планета обращаются вокруг общего неподвижного центра масс по круговым орбитам. Найдите радиус орбиты планеты r, если известно, что масса планеты равна m, а скорость движения звезды и радиус ее орбиты равны υ и R соответственно.
18. На космическом аппарате, находящемся вдали от Земли, начал работать реактивный двигатель. Из сопла ракеты ежесекундно выбрасывается 2 кг газа (Δm/Δt = 2 кг/с) со скоростью υ = 500 м/с. Исходная масса аппарата М = 500 кг. Какой будет скорость аппарата через t = 6 c после старта? Начальную скорость аппарата принять равной нулю. Изменением массы аппарата за время движения пренебречь.
19. На одном конце тележки длиной L = 5 м стоит человек массой m = 40 кг. Масса тележки М = 60 кг. На какое расстояние передвинется тележка, если человек с постоянной скоростью перейдет на другой ее конец? Массой колес и трением пренебречь.
20. Начальная скорость снаряда, выпущенного из пушки вертикально вверх, равна υ0 = 10 м/с. В точке максимального подъема снаряд разорвался на два осколка, массы которых относятся как 2 : 1. Осколок большей массы упал на землю первым со скоростью υ1 = 2υ0. До какой максимальной высоты поднялся осколок меньшей массы?
21. Снаряд массой 4 кг разорвался в полете на две равные части, одна из которых продолжила движение по направлению движения снаряда, а другая — в противоположную сторону. В момент разрыва суммарная кинетическая энергия осколков увеличивается за счет энергии взрыва на величину 0,5 МДж. Модуль скорости осколка, движущегося по направлению движения снаряда, равен 900 м/с. Найдите скорость снаряда перед разрывом.
22. С высоты H = 30 м свободно падает стальной шарик. Через t = 2 с после начала падения он сталкивается с неподвижной плитой, плоскость которой наклонена под углом α = 30° к горизонту. На какую высоту h от поверхности земли поднимется шарик после удара? Удар шарика о плиту считать абсолютно упругим.
23. Два шарика, массы которых m1 = 200 г и m2 = 600 г, висят, соприкасаясь, на одинаковых нитях длиной l = 80 см. Первый шар отклонили на угол 90° и отпустили. На какую высоту поднимутся шарики после удара, если этот удар абсолютно неупругий?
24. Брусок массой m1 = 500 г соскальзывает по наклонной поверхности с высоты h = 0,8 м и, двигаясь по горизонтальной поверхности, сталкивается с неподвижным бруском массой m2 = 300 г. Считая столкновение абсолютно неупругим, определите изменение кинетической энергии первого бруска в результате столкновения. Трением при движении пренебречь. Считать, что наклонная плоскость плавно переходит в горизонтальную.
25. Брусок массой m1 = 600 г, движущийся со скоростью υ = 2 м/с, сталкивается с неподвижным бруском массой m2 = 200 г. Какова скорость первого бруска после столкновения? Удар считать центральным и абсолютно упругим.
26. Пушка, закрепленная на высоте 5 м, стреляет в горизонтальном направлении снарядами массы 10 кг. Вследствие отдачи ее ствол, имеющий массу 1000 кг, сжимает на 1 м пружину жесткости 6000 Н/м, производящую перезарядку пушки. Считая, что относительная доля η = 1/6 энергии отдачи идет на сжатие этой пружины, найдите дальность полета снаряда.
27. Пробирка массой 40 г, содержащая пары эфира, закрыта пробкой и подвешена в горизонтальном положении к штанге на нерастяжимых нитях. Расстояние от центра масс пробирки до штанги L = 20 см. При нагревании пробирки пробка вылетает из нее со скоростью 4 м/с. Какова масса пробки, если нити отклонились от вертикали на максимальный угол 60°? 28. Пробирка массой 40 г, содержащая пары эфира, закрыта пробкой массой 10 г и подвешена в горизонтальном положении к штанге на нерастяжимых нитях. При нагревании пробирки пробка вылетает из нее со скоростью 4 м/с, а нить обрывается. Найдите максимально возможное в этих условиях расстояние L от центра масс пробирки до штанги, если нити выдерживают суммарную нагрузку не более 0,6 Н.
29. Небольшая шайба после толчка приобретает скорость υ = 2 м/с и скользит по внутренней поверхности гладкого закрепленного кольца радиусом R = 0,14 м. На какой высоте h шайба отрывается от кольца и начинает свободно падать?
30. Два шарика подвешены на вертикальных тонких нитях так, что они находятся на одной высоте. Между ними находится сжатая и связанная нитью пружина. При пережигании связывающей нити пружина распрямляется, отклоняя шарики в разные стороны на одинаковые углы. Во сколько раз одна нить длиннее другой, если отношение масс m2/m1 = 1,5? Считать величину сжатия пружины во много раз меньше длин нитей.
31. Пуля летит горизонтально со скоростью υ0 = 400 м/с , попадает в лежащий на горизонтальной поверхности льда брусок и отскакивает в обратном направлении со скоростью υ0/8. Масса бруска в 90 раз больше массы пули. Коэффициент трения скольжения между бруском и льдом μ = 0,1. На какое расстояние s переместится брусок к моменту, когда его скорость уменьшится на 20%?
32. Наклонная плоскость пересекается с горизонтальной плоскостью по прямой AB. Угол между плоскостями α = 30°. Маленькая шайба начинает движение вверх по наклонной плоскости из точки A с начальной скоростью υ0 = 2 м/с под углом β = 60° к прямой AB. В ходе движения шайба съезжает на прямую AB в точке B. Пренебрегая трением между шайбой и наклонной плоскостью, найдите расстояние AB.
33. Изогнутая жесткая трубка укреплена на платформе, находящейся на гладкой горизонтальной поверхности стола (см. рисунок). В трубке на расстоянии H от стола удерживают шарик, который может скользить по трубке без трения. Все тела покоятся. Шарик отпускают. В результате платформа движется поступательно, не отрываясь от стола, и после вылета шарика из трубки со скоростью υ приобретает скорость υ/5. На каком расстоянии h от стола находится левый горизонтальный конец трубки?
34. Горка с двумя вершинами, высоты которых h и 3h, покоится на гладкой горизонтальной поверхности стола (см. рисунок). На правой вершине горки находится монета, масса которой в 12 раз меньше массы горки. От незначительного толчка монета и горка приходят в движение, причем монета движется влево, не отрываясь от гладкой поверхности горки, а поступательно движущаяся горка не отрывается от стола. Найдите скорость горки в тот момент, когда монета окажется на левой вершине горки.
35. В гладкий стакан высотой h = 8 см и радиусом 3 см поставили однородную палочку длиной 12 см. Стакан доверху наполнили жидкостью, плотность которой в 5 раз меньше плотности материала палочки. Чему равна масса палочки, если она давит на край стакана с силой 465 мН ?
36. Однородный цилиндр с площадью поперечного сечения 10-2 м2 плавает на границе несмешивающихся жидкостей с плотностью 800 кг/м3 и 1000 кг/м3 (см. рисунок). Пренебрегая сопротивлением жидкостей, определите массу цилиндра, если период его малых вертикальных колебаний π /5 c.
37. Брусок, покоящийся на горизонтальном столе, и пружинный маятник, состоящий из грузика и легкой пружины, связаны легкой нерастяжимой нитью через идеальный блок (см. рисунок). Коэффициент трения между основанием бруска и поверхностью стола равен 0,25. Груз маятника совершает колебания с периодом 0,5 с вдоль вертикали, совпадающей с вертикальным отрезком нити. Максимально возможная амплитуда этих колебаний, при которой они остаются гармоническими, равна 4 см. Чему равно отношение массы бруска к массе грузика? 38. Брусок, покоящийся на горизонтальном столе, и пружинный маятник, состоящий из грузика и легкой пружины, связаны легкой нерастяжимой нитью через идеальный блок (см. рисунок). Коэффициент трения между основанием бруска и поверхностью стола равен 0,25. Груз маятника совершает колебания с частотой 2,5 Гц вдоль вертикали, совпадающей с вертикальным отрезком нити. Максимально возможная амплитуда этих колебаний, при которой они остаются гармоническими, равна 4 см. Чему равно минимальное значение отношения массы бруска к массе грузика?
Ответы к избранным задачам прошлых лет